En Matemàtiques, una successió és una col·lecció de nombres ordenats segons algun criteri. Per exemple, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 formen una successió en la qual cada element, cada nombre, és doble de l’anterior. Les successions semblen entelèquies matemàtiques però no ho són. I tot i que la immensa majoria (n’hi ha infinites) dormen entre els papers dels matemàtics, algunes són famoses. La successió de nombres
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 …
és de les més famoses. Es diu successió de Fibonacci, sobrenom de Leonardo Pisano (1170-1250). Ell la va inventar -o descobrir?
Cada nombre de la successió és la suma dels dos immediatament anteriors. Deixeu el ratolí i poseu la mà dreta estesa sobre la taula. Cada dit, llevat del polze, està format per quatre ossos, els metacarpians i les falanges, i en promig, les més petita de les tres falanges fa 2 cm d’allargada, la següent fa 3 cm i la més llarga, 5 cm: 2, 3, 5. Us recorda res? Endevineu quant mesura el metacarpià, l’os que conforma la palma de la mà, una part dels dits, per dir-ho així, amagada. Efectivament: 8 cm! La successió de Fibonacci: 2, 3, 5, 8.
La mà és el que teníem més a mà, és clar, però moltes, moltes coses de la Natura també segueixen la sèrie de Fibonacci. Espereu a la Primavera: algunes flors tenen un (1) sol pètal, com els lliris; poques flors trobareu al jardí amb dos (2) pètals, però n’hi ha; en trobareu més amb tres (3) pètals, moltíssimes en tenen 5; les margarites en tenen 8 i també n’hi ha amb 13, 21 i 34 pètals… La flor de la foto, ves, em va agradar a causa del seu blau profund i perquè en té 6, tota una raresa. També les branques més gruixudes dels arbres segueixen la successió. Això vol dir que d’una (1) branca, en creix una altra (ja són 2); una de les dues en fa una (ja són 3); de les tres, dues en fan una cadascuna (total: 5); de les cinc, tres i només tres branques fan una branca cadascuna (o sigui, 8); d’aquestes vuit, cinc fan branques noves, com sempre, una cadascuna (suma total: 13) i anar-hi anant. Sembla miraculós, però només perquè no hi hem posat prou atenció: la branca principal, el cap pare, fa cada certa altura una branca i cada branca que en surt es comporta exactament com el cap pare. Al final, surt la successió de Fibonacci, però és que, per a l’arbre, és molt més senzill seguir en totes les seves branques exactament el mateix patró. Simple i útil és una combinació evolutivament molt afavorida. No hi ha miracles.
L’amiga Fibonacci mostra moltes curiositats. Una de les més fascinants té relació amb un nombre molt relacionat amb l’estètica: el nombre auri. Dividiu qualsevol dels nombres de la sèrie per l’immediat anterior. Si dividim 5 entre tres, el resultat és 1,6666…; quan dividim 8 entre 5, el resultat és exactament 1,6; 13 partit per 8 dóna 1,625; 21 entre 13 fa 1,61538… i 233 entre 144 dóna 1,618… i cada vegada coincideixen, si us hi fixeu, més decimals. El resultat de dividir qualsevol nombre de la successió per l’immediatament anterior tendeix cap a un cert valor, el nombre auri. Les coses que compleixen la proporció d’or són, vistes pels humans, belles. Admireu-lo en les proporcions del Partenó i a les monedes d’Euro que encunyen l’Home de Vitruvi de Leonardo Da Vinci, però també… en les proporcions de les nostres falanges! No és, doncs, gens estrany que la proporció 1:1,6 ens resulti agradable, oi?
Tornem a l’arbre d’abans. La llum és la raó d’existir de les fulles. Si totes neixessin a la mateixa altura, seria un desastre per a l’arbre perquè taparien la llum de les fulles de sota. Que neixessin totes sobre la mateixa vertical també fóra desastrós a causa de l’ombra projectada. No, les fulles neixen seguint una espiral. És una espiral de Fibonacci, amb les proporcions d’or. Qualsevol altra successió acabaria produint dues fulles sobre la mateixa vertical molt abans que la de Fibonacci. Sens dubte que els gens Fibonacci formen part del nostre món des de molt abans que els humans aprenguéssim a mesurar les nostres falanges!
No és estrany, doncs, que trobem bonic allò que resulta tan normal. No hi ha ni miracles ni ningú dissenyant la Natura. No cal. Ens ha costat déu i ajuda arribar-hi, però ara les coses són realment molt, moltíssim més belles.
Per cert que el d’or és un nombre irracional, d’aquells que no podem escriure exactament perquè té infinits decimals, però he trobat una bona aproximació: 2000 decimals. Aviseu-me, si us plau, si hi trobeu cap error. Gràcies.
1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890
244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635
443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104
321626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104
432077134494704956584678850987433944221254487706647809158846074998871240076521
705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666
599146697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829
778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292
675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317
159934323597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790
352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234
145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681
986151437803149974110692608867429622675756052317277752035361393621076738937645
560606059216589466759551900400555908950229530942312482355212212415444006470340
565734797663972394949946584578873039623090375033993856210242369025138680414577
995698122445747178034173126453220416397232134044449487302315417676893752103068
737880344170093954409627955898678723209512426893557309704509595684401755519881
921802064052905518934947592600734852282101088194644544222318891319294689622002
301443770269923007803085261180754519288770502109684249362713592518760777884665
836150238913493333122310533923213624319263728910670503399282265263556209029798
642472759772565508615487543574826471814145127000602389016207773224499435308899
909501680328112194320481964387675863314798571911397815397807476150772211750826
945863932045652098969855567814106968372884058746103378105444390943683583581381
131168993855576975484149144534150912954070050194775486163075422641729394680367
319805861833918328599130396072014455950449779212076124785645916160837059498786
006970189409886400764436170933417270919143365013715766011480381430626238051432
117348151005590134561011800790506381421527093085880928757034505078081454588199
063361298279814117453392731208092897279222132980642946878242748740174505540677
875708323731097591511776297844328474790817651809778726841611763250386121129143
683437670235037111633072586988325871033632223810980901211019899176841491751233
134015273384383723450093478604979294599158220125810459823092552872124137043614
910205471855496118087642657651106054588147560443178479858453973128630162544876
114852021706440411166076695059775783257039511087823082710647893902111569103927
683845386333321565829659773103436032322545743637204124406408882673758433953679
593123221343732099574988946995656473600729599983912881031974263125179714143201
231127955189477817269141589117799195648125580018455065632952859859100090862180
297756378925999164994642819302229355234667475932695165421402109136301819472270
789012208728736170734864999815625547281137347987165695274890081443840532748378
137824669174442296349147081570073525457070897726754693438226195468615331209533
579238014609273510210119190218360675097308957528957746814229543394385493155339
630380729169175846101460995055064803679304147236572039860073550760902317312501
613204843583648177048481810991602442523271672190189334596378608787528701739359
303013359011237102391712659047026349402830766876743638651327106280323174069317
334482343564531850581353108549733350759966778712449058363675413289086240632456
395357212524261170278028656043234942837301725574405837278267996031739364013287
627701243679831144643694767053127249241047167001382478312865650649343418039004
101780533950587724586655755229391582397084177298337282311525692609299594224000
056062667867435792397245408481765197343626526894488855272027477874733598353672
776140759171205132693448375299164998093602461784426757277679001919190703805220
461232482391326104327191684512306023627893545432461769975753689041763650254785
138246314658336383376023577899267298863216185839590363998183845827644912459809
370430555596137973432613483049494968681089535696348281781288625364608420339465
381944194571426668237183949183237090857485026656803989744066210536030640026081
711266599541993687316094572288810920778822772036366844815325617284117690979266
665522384688311371852991921631905201568631222820715599876468423552059285371757
807656050367731309751912239738872246825805715974457404842987807352215984266766
257807706201943040054255015831250301753409411719101929890384472503329880245014
367968441694795954530459103138116218704567997866366174605957000344597011352518
134600656553520347888117414994127482641521355677639403907103870881823380680335
003804680017480822059109684420264464021877053401003180288166441530913939481564
031928227854824145105031888251899700748622879421558957428202166570621880905780
880503246769912972872103870736974064356674589202586565739785608595665341070359
978320446336346485489497663885351045527298242290699848853696828046459745762651
434359050938321243743333870516657149005907105670248879858043718151261004403814
880407252440616429022478227152724112085065788838712493635106806365166743222327
767755797399270376231914704732395512060705503992088442603708790843334261838413
597078164829553714321961189503797714630007555975379570355227144931913217255644
012830918050450089921870512118606933573153895935079030073672702331416532042340
155374144268715405511647961143323024854404094069114561398730260395182816803448
252543267385759005604320245372719291248645813334416985299391357478698957986439
498023047116967157362283912018127312916589952759919220318372356827279385637331
265479985912463275030060592567454979435088119295056854932593553187291418011364
121874707526281068698301357605247194455932195535961045283031488391176930119658
583431442489489856558425083410942950277197583352244291257364938075417113739243
760143506829878493271299751228688196049835775158771780410697131966753477194792
263651901633977128473907933611119140899830560336106098717178305543540356089529
290818464143713929437813560482038947912574507707557510300242072662900180904229
342494259060666141332287226980690145994511995478016399151412612525728280664331
261657469388195106442167387180001100421848302580916543383749236411838885646851
431500637319042951481469424314608952547072037405566913069220990804819452975110
650464281054177552590951871318883591476599604131796020941530858553323877253802
327276329773721431279682167162344211832018028814127474431688472184593927814354
740999990722332030592629766112383279833169882539312620065037028844782866694044
730794710476125586583752986236250999823233597155072338383324408152577819336426
263043302658958170800451278873115935587747217256494700051636672577153920984095
032745112153687300912199629522765913163709396860727134269262315475330437993316
581107369643142171979434056391551210810813626268885697480680601169189417502722
987415869917914534994624441940121978586013736608286907223651477139126874209665
137875620591854328888341742920901563133283193575622089713765630978501563154982
456445865424792935722828750608481453351352181729587932991171003247622205219464
510536245051298843087134443950724426735146286179918323364598369637632722575691
597239543830520866474742381511079273494836952396479268993698324917999502789500
060459661313463363024949951480805329017902975182515875049007435187983511836032
722772601717404535571658855578297291061958193517105548257930709100576358699019
297217995168731175563144485648100220014254540554292734588371160209947945720823
780436871894480563689182580244499631878342027491015335791072733625328906933474
123802222011626277119308544850295419132004009998655666517756640953656197897818
380451030356510131589458902871861086905893947136801484570018366495647203294334
374298946427412551435905843484091954870152361403173913903616440198455051049121
169792001201999605069949664030350863692903941007019450532016234872763232732449
439630480890554251379723314751852070910250636859816795304818100739424531700238
804759834323450414258431406361272109602282423378228090279765960777108493915174
887316877713522390091171173509186006546200990249758527792542781659703834950580
106261553336910937846597710529750223173074121778344189411845965861029801877874
274456386696612772450384586052641510304089825777754474115332076407588167751497
553804711629667771005876646159549677692705496239398570925507027406997814084312
496536307186653371806058742242598165307052573834541577054292162998114917508611
311765773172095615656478695474489271320608063545779462414531066983742113798168
963823533304477883169339728728918103664083269856988254438516675862289930696434
684897514840879039647604203610206021717394470263487633654393195229077383616738
981178124248365578105034169451563626043003665743108476654877780128577923645418
522447236171374229255841593135612866371670328072171553392646325730673063910854
108868085742838588280602303341408550390973538726134511962926415995212789311354
431460152730902553827104325966226743903745563612286139078319433570590038148700
898661315398195857442330441970856696722293142730741384882788975588860799738704
470203166834856941990965480298249319817657926829855629723010682777235162740783
807431877827318211919695280051608791572128826337968231272562870001500182929757
729993579094919640763442861575713544427898383040454702710194580042582021202344
580630345033658147218549203679989972935353919681213319516537974539911149424445
183033858841290401817818821376006659284941367754317451605409387110368715211640
405821934471204482775960541694864539878326269548013915019038995931306703186616
706637196402569286713887146631189192685682691995276457997718278759460961617218
868109454651578869122410609814197268619255478789926315359472922825080542516906
814010781796021885330762305563816316401922454503257656739259976517530801427160
714308718862859836037465057134204670083432754230277047793311183666903232885306
873879907135900740304907459889513647687608678443238248218930617570319563803230
819719363567274196438726258706154330729637038127515170406005057594882723856345
156390526577104264594760405569509598408889037620799566388017861855915944111725
092313279771138032943765475090165169496509916073833937715833230245701948347400
070437618671998483401631826008462619656284649118225688857521346375490254180833
821383522245258726789379505375915603579454698509102256225455003017571049469833
483545323835260787092219304581782306012370753280678368541306584636788866433486
249368010198782799630670259543265137806007386392908564830874157618741897345848
450141889765293411013722158643559915527113623322003526677859159890231446163321
026519665907632061524383747619049531582968836265042094840105654589130629827717
249809641959472340465110419821347689354018038256954956286039244264159867485982
280060353862839166201252826607493306196584965199979419393226017235710733642537
083033011433624985753635970424446475998999950855041354977558585934576590926533
307252775416758431466936767806170350120038448748838233760344077515947781221883
070900087386627362091660799050226989270321899760379509890591085910392967345614
610700304581921273892599269610621167643642438350141020408632149917815297968152
237983224273753657008553469979655413859050326836160222788475547062698439108852
103020768604706804556846560491686498860616222952323907098092629302337956482179
981632645827888877674520846371971063478923106675469355047615197781699025881840
407927510901824482787052505976983753514306224450902202382439823125505841623207
188319300693606464682096595006549290109716186526367216107417136183776673327975
626854801245657682790317603946555394523143387567730349791578588591011663748455
675847952713918608782540104233329857442747118969610485126401975043599092076621
558998660736837623188358845081292950114665354828171448464056865246540907815471
619625784469575262569455165601519164029217988548909373280314651922247590030965
715490505361043776868772619159528449204647868973473708598413845131621192972012
634240773694545981865029659233534512568454974541129819735876670728601616056204
230636066130281496773445797737750557564665475256322648177116997857087122831543
104569123262503497681152452174497396136748822046480519688754341969511933120450
216051429384844754523821270143830957855813619678302310685080845876952059053294
683384904712099162556365034003439670828933698367423001575117385151269123066172
276414421607512917341874714315093241924914160969998672815823859257359823894849
274919646152272273338746312138436262116379467062032630225055489580573083750461
299231136299173069489407342588319483999274163950984439634057635284717562762192
786522539608720131080486406534396168875452534263098969517619019770963192258709
342165955974471750157538376741522280570650280683143356524917199733358403064153
550759115974264366482846628136802174505909705894602744292632222215459450758046
571206068639904308236939693208237490767561190171561305424813311715242568478463
363770015204417916501168232575236160495749706390822443444510351219048819830276
001766809850965245439007199098034993026860675523879685292194732393352370086650
221407464554037222343481675749373144640928379006539196774010355861936181566836
616864892395554961452826472894994160615803045867891461971728155451100056660542
499691974102798740593276434953714525167694620698597880946950174730228414275718
871940921209137994059430370504364838600434645227993302923901865922689874992113
256560557840142335426058951056203690720289393159204404768359276364799600596404
860761989159298194950878786027663459905404263770045900803279434720629825445256
356479542992488198646136171314485773469953475577155491384239289401754034139973
846169481293479242234609743019627523013828607224496380953838401526567819764507
588547855155492345234781646033062938842009950803260140918302574385770671025227
243666905988908545015570754230316665924723528924702588624794887546252765727285
151112878270673454310244515233456542284311039679528296250193698939983473961763
988095735415260145372964681473821843600521099472119416591494716705203792255209
633645848468041447780302164728623999264048363508773747824501638200895240322534
379925790129265640155537754091751704419627285039126695956664877242967660367303
453668734049079141886945214715827908157233969124039985869390855173079801955546
128513408912061084012213617070570430060569246855916468834773320856891412679428
448041384682813256929148160109786272696866867373917118931462269134894580427789
899608144709524762905019260311649206867743318661546966896601822663578788750608
856243562678932797354633904182108774638039216244772025672699596391824687788455
497179038515839204748319903127622437066235092518775434140107112335865907748122
063763459019884225472727655290504399502524440391136582670813300580588209460310
208261341369127572936992893029961730892843670315238589753987388936807441526373
794240506448764171768613552343269865728970463069180174277972173889859443284852
057257588337563820150546720651674252681894851673328046307647813293132602893229
366045210213189812987661526244487486693890406178469916665417485084597970146178
215845014919572109825089234517474512254327386819725864944588083771398685065984
085457731654169174067052111949166286337732263753475666370022120327524389997736
006074042702972203634778048298834855189525079474605519940340110771169725644261
005092059843362535847069597185762616776630211747878341975644501838041029203240
408826617344339090263522350506828582854432839618480925376130820115626869907999
117084755586982150310073563240421988569584200682439926953784403202222374628147
659230605547476936830576549677690471159625502474507809624837449908025613750915
622359081010534493941774294277091445166668700415228544638076615351141556487854
936011387473103828773313388391709646174829063156788065182761765798535021665998
607464012674884121130098549938337106031962506702797524310119377335548537011694
674858888363080333287739571656275340367272180705622562326374148833499289970258
977299224036941750743427314194157432466794578586039894075097356363688815672159
676354380665593938934382075984061216064317664421902677773799145579945031468708
716266226524133590569928494006372744908821635242948022566330458553636337251762
049074624062938962390622030424872688432377631733574205753997574373508409657792
180880089420590662572782307692788656445563758012667280952527379828030076636976
928164844651277473822397061738567507146692748220374881122563994075227626464994
658463674019559973702838393119884822335539964978333165008467491254522956512409
390963784095416901234675375280139080830863022653352387069273071984654649454979
101134287154636695543437462154391886526085366974366530588562164411648068912837
357794341530609478457270987037976921346205969538843826760827659181773627669918
727803754219954172428335791064520613736884708545165822193158645377018313401818
827251099922917614711860529176551422881123566217241692680620648845317615164272
953585798375412375876100415475805595730122459276711895277333823356043374201321
392804317053379463646428351993014576706491847707768959885421647973371769625943
938648074893633201098893643528324494132569317438323509258286421276209473432879
984387198291625035886368857440896091619767553023636147840186271827708891360398
933077293060296717760258418030133475474406093218222662077059842476082637941388
598601935208959821941885723823714271930349354518240112671046073097412681279072
726438685681544729144826761389945092064098792647692574698812334642995267308237
405720406143748700867048612599590178424976845844736824827947824753176338174814
799571031203396345226743415123722322454626546328353564246627786460839872179127
843089641636422237152822199860850600158245169478318926060165827491142774933502
865503727691068107557826463340399219222602208590967841860013859653877265826244
657597694069240541804444738471607901449743018055889337623761296918229234768453
759556468421122698731637506249971182291485689604472527760093934343558339195165
132985623645893149101860849683480338090932736261062054795970421298669883573560
404347128399801249802209466851093490407878450102117684276345079137687609746900
665759683043519266676563960922648845670212850744821184836102907689196493402300
641753173483914758916672023069245347107627719792524997328576890388680141780313
799483651089527220946591304506656658258539174690486872649902546765966599164547
365134259755577397348506528439977384490513905829430130008366961455669748537793
407881277215791487210719258869089277878732982982214574233273265987982756950898
845306240223036486347722967056524127035887830281940074980575439016285786745531
327197652607107643153112391526077219362144346096089758726934223674331613718574
577608117751518069662104795585140130069701845007026290479492570837120175279378
554957627391245587148332010170361840521636818017341425089806160634676330850504
184585816629334093479199103685913053789482158651701181210113330006695775232786
685518078256752836149494920745837336845813691407977595925267273966423478746614
399819648081036705066005238269165055144634711116867428177319502560642951637959
659475644987891461446925936629309364804816174059808214254340525211371332408113
913579971622858101419103410460569290782498956214560041045692221416830893236662
517618696271719453854998551484275173369241202680159928083201458300754484742331
264387808478085056104304909999364345905195187494843696772757473359670883349609
157447435750398602016397666114276536952670441155200193914842934601015129531174
458876483070371677396154265591399083037577663021309908712719887069032930470124
105861506399852998141757804303480803588203202011047607004755710169423412034108
915643947825303164593730437558194686752534953230130276782353560116641311177996
099793662043449569683547930754311327558643189731515171064432189249793277801264
964764475467078165807406131259375271847408816115479818307816751047809291413954
564631160581269051753953556915775580410671981231638405277556052272223764711883
233223099585068971018717504781906533494858423259762256575841898529144717833517
322602985786292943465056366932162627673816245957417932698892327220666636081992
490988831468529940991386734446049670842442978243630232938910355965601739942201
988690257245471401633009612146187208365108688185334060622017099515827070442337
042180176696349133695996064322005328873494893135966030424380804565944743335678
31672703729636367594216999379522
Més sobre el nombre d'or
Que irònic l’últim comentari, deu seguir la proporció 1:1.6
Però hi has trobat cap error o no?
Drinking beer, I found a bug I think in the line thirty-two, but after finishing the beer, I can not remember where exactly. Can someone help me?
Jo no l’he buscat. Només he fet córrer el ratolí per veure quantes línies de números surten: una pila! Apreciació totalment subjectiva i gens científica, ho admeto. No cal que et recordi que sóc de lletres, és clar!
D’altra banda, fascinant tot el que expliques!!! Ho reenviaré a la família.
Aquestes coses és millor enviar-les a la família. Si ho envies als amics, poden deixar de ser-ho. La família és una cosa diferent.
Gràcies, Maria.